スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

今年は儲かった?

今年株でどれくらいの人が儲かったのかちょっと考えてみた。

終値で取引するとして株価を
 stk11-eq01.gif --①
とする。今年初めの資産を1として毎日終値でランダムに
 現金を全部株にする。
 現金のままにしておく。
 株を全部現金にする。
 株のままにしておく。
の操作をする(空売りは考えない)。現金から株または現金のままの場合は資産の増減なし、株から現金または株から株の場合はそのときの株価で評価する。

資産をxとして対数をとったものが平均μ、分散σ2の正規分布になると仮定すると、その分布p(x)は
stk11-eq02.gif --②
になる。

今年初めから今までの期待値Eは
 stk11-eq03.gif --③
で②の期待値は
 stk11-eq04.gif --④
になって両者は等しいはずなのでμは
 stk11-eq05.gif --⑤
になる。

ここで毎日の資産の増減は現金からの操作の場合は1、株からの操作の場合はak/ak-1になる。
 stk11-eq06.gif --⑥
として、ランダムウォークを仮定すると分散σ2はln(bn)の分散に比例して
 stk11-eq07.gif --⑦
になる。

あとは②、⑤、⑦とエクセルを使えば資産の分布がわかるよ

今年初めから先週木曜までの日経平均で計算すると資産の分布はこうなる。
stk11-fig01.gif
  --図1 確率密度--
stk11-fig02.gif
  --図2 累積分布--

期待値は0.905、中央値は0.892になる。1までの累積が0.755なので資産を増やせた人は0.245(24.5%)しかいない。4人に3人は資産を減らしたことになる。厳しいね

いくつかのセクター別に分布を計算するとこうなる。
stk11-fig03.gif
  --図3 確率密度--

この中だと小売と食品の期待値がなんとか1を超えている(というかほぼ1、ついでに中央値は1未満)けど、あとはダメ。原発の事故もあってお堅い電力が悲惨な結果になってしまった。

来年はいい年になるといいね。



スポンサーサイト

未来の株価はどうやって決める?

毎日変わる株価。実際に株を売ったり買ったりするだけじゃなくて、将来株を売ったり買ったりする権利といった派生商品も取引されている。

こういうとき皆が納得する未来の株価の基準がないと困りそう。納得感のある未来の株価はどうやって決めるんだろう?
randfig01.jpg

どうも株価はランダムに動くという前提に立って考えるのが普通らしい。この前提が正しいのか間違っているのかはよく分からないけど、この前提に従ってみる。

ランダムに動く=ランダムウォークの一次元モデルで考えよう! 話を簡単にするために格子点(1,2,3,4といった飛び飛びの位置、1.5の位置とかは考えない)上に複数の粒子があって時間Δt毎に確率1/2で左右に動くとする。
randfig01.gif
--図1--

こんな感じで時刻tにi-1の位置に粒子がNt,i-1個あってi+1の位置に粒子がNt,i+1個あるとする。Δt後のiの位置の粒子の数の期待値Nt+Δt,i
 randeq01-1.gif --(1)
両辺からNt,iを引くと
 randeq02.gif --(2)
となる。ここで両辺をΔtΔx2で割ると
 randeq03.gif --(3)
となる。

x=iΔxとしてΔt→0,Δx→0の極値をとるとN(t,i)は確率密度関数p(t,x)に置き換えることができて
 randeq04-1.gif --(4)
になる。ちょっと変形して
 randeq05-2.gif --(5)
になって
 randeq06-1.gif --(6)
とすると
 randeq07-1.gif --(7)
となる。

(7)式は拡散方程式で基本解は
 randeq08-1.gif --(8)

 randeq09.gif --(9)
とおくと
 randeq10-1.gif --(10)
になる。

これは平均0で分散が2Dtの正規分布だよ。より一般化して平均をuとすると
 randeq11-1.gif --(11)
となる。やっとここまできた


ここまでのお話はランダムに動くものの確率密度は正規分布になるということ。粒子の位置を株価とみなして株に応用したいけどちょっと問題がある。

粒子の例だと、例えば粒子は10の位置から刻み幅を1としてずっと右に動くとすると10, 11, 12, 13, ...と動く。

でも株の場合は昨日と今日の株価の差はある刻み幅を基準として動くんじゃなくて割合を基準にして動くと考える方がリーズナブル。

例えば単調増加する場合は刻み幅を10%として10, 11, 12.1, 13.31, ...という感じ。値の差でなく値の割合が基準になるので対数をとったものが粒子と同じように動くと考えると分かりやすい。

そこで株価をsとして
 randeq12-1.gif --(12)
xは正規分布する。すると株価の確率密度Pは
 randeq13-1.gif --(13)
になる。これは対数正規分布だよ。

こんな感じでランダムに動くと仮定すると未来の株価の確率密度は対数正規分布になる。

ちなみに正規分布と対数正規分布の違いはこんな感じ。
randgraph01.gif
--図2-- 平均0、分散σ2の正規分布とその対数正規分布。


(13)式を元に未来の株価はどんな感じになるか考えてみよう。(13)式で困るのは平均uがあるところ。標準偏差σは過去のデータから予想できそうだけど未来の平均は難しい。

そこで現在の株価をs0、利子率をrとして現在の株を現金にして預金しておいたものと、時間t後の株価の期待値は同じと考える。株も預金も期待値は同じという前提だよ。

対数正規分布の期待値を用いて
 randeq14-2.gif --(14)
となる。対数をとると
 randeq15.gif --(15)
となる。ここで(9)式を思い出そう。分散σ2は時間tに比例していた!
 randeq16.gif --(16)
単位時間の標準偏差をσeとすると
 randeq17.gif --(17)
なので(15)式は
 randeq18-1.gif --(18)
となる。

(13)、(17)、(18)から現在の株価s0と単位時間の標準偏差σeから時間t後の株価sの確率密度の分布が分かる。おおお、やっとなんとなく分かった、長かった


ちょっとどんな感じになるか計算してみよう

例えば
 現在の株価 s0=1000円
 単位時間(例えば1年とか)の標準偏差 σe=0.2
 利子率r=0.00995
とするとt=0.5, t=1, t=2の確率密度分布はこんな感じになる。
randgraph02.gif
--図3--

時間が経つと分布はだんだんs0から広がって中央値(最頻値も)は低い方に移動していく。これは株は長い目で見るとガンガン伸びる一部の株と預金にも負ける多くの株があるってこと。一部の勝ち組とその他多数の負け組からなるのが企業ってことかな。なんだか個人の収入とか資産みたいだね。


お付き合い頂きありがとうございます



夏休みの自由研究~東京ドーム

夏は暑いし、冬は寒いし、春は花粉が飛ぶし、快適な日って少ないかも。そこで東京をドームで覆って夏は日光を遮断するようにサングラスみたいに暗くして、冬は温室みたいに日光を通すようにしたらどうなんだろう。こんな感じの傘要らずの未来都市。
domefig01.gifdomefig01-1.jpg
--図1--

SFにでてきそうだね。どんな感じになるか計算してみよう! まず座標系をこんな感じにとる。
domefig02.gif
--図2--

 Nθ:θ方向の応力
 Nφ:φ方向の応力
 Nr:r1方向の応力
 Nθφ:θが一定の断面に作用するφ方向のせん断応力
 Nφθ:φが一定の断面に作用するθ方向のせん断応力
 pθ:質量当たりのθ方向の外力
 pφ:質量当たりのφ方向の外力
 pr:質量当たりのr1方向の外力

ドームのガラスはr1と比べて十分薄いとする。

まずθ方向の力の釣り合いを考える。3次以上の微小要素のある項を無視する。
 domeeq01-2.gif
 domeeq02-1.gif--(1)

同様にφ方向、r1方向、モーメントの釣り合いから
 domeeq03-1.gif--(2)
 domeeq04.gif--(3)
 domeeq05.gif--(4)

軸対称であるとしてφ方向の微分、Nθφ、Nφθ、pφは0として(1)~(4)は
 domeeq06-1.gif--(5)
 domeeq07.gif--(6)
となる。

(5)、(6)から
 domeeq08-1.gif
 domeeq09-1.gif--(7)
となる。ここで
 domeeq10-1.gif
を用いると(7)は
 domeeq11-1.gif
 domeeq12.gif
 domeeq13.gif--(8)
となる。

ここで簡単考えてドームを球とすると
 domeeq14.gif
 domeeq15.gif
となる。

外力を自重と内圧とする。ガラスの密度をρ、重力加速度をg、内圧と外圧の差をχ、ガラスの厚さをdrとすると
 domeeq16.gif
 domeeq17.gif
となる。(8)に代入すると
 domeeq18.gif--(9)
となる。また(6)から
 domeeq19.gif--(10)
となってやっとNθとNφが分かった、疲れた~ 自重による成分はガラスの厚さに依存しない。

ここで(9)と(10)がどんな感じにあるかみてみよう。まずは単純に自重のみ働く(χ=0)として(9)の右辺第一項と(10)の右辺第一項と第二項をみてみる(rρgは除く)。
domefig03.gif
--図3:横軸θ--

こんな感じでNθは常に負(圧縮)でNφはθがあるところより大きいと正(引っ張り)になる。

ここでちょっと問題がある。ガラスは圧縮には強いけど引っ張りには弱いらしい。そこでNφが正にならない角度をθ≦αとすると
 domeeq20.gif
になるから
 domeeq21.gif--(11)
となる。θがこれ以下になるようにドームを作りたい。

ここでドームの地上での半径を円周が山手線1周と同じ長さになるようにしてみよう!
yamacir02.gif
--図4--

ドームを上からみると↑こんな感じ。地上での半径をlとすると
 domeeq22.gif
 domeeq23.gif--(12)
となる。

l=5491m、(11)、(12)からドームの半径rはr=6985mになってドームを横から見ると↓こんな感じ。
domefig04.gif
--図5--

高さhはh=2668m。おおおっ、結構高いね。ここで肝心な強度を求めると最大応力はθ=αのところ(ドームの一番下)になる。ρ=2.2×103kg/m3、g=9.8m/s2と(9)からNθmax=-9.31×107Paになる。

ガラスの圧縮強度は-1.15×109Paらしいので約12倍の安全率になるのかな。これだけ大きくても自重しか働かない場合は理論上は一応壊れない。合ってる保証皆無だけど、ちょっと安心

(9)と(10)から内圧がかかる場合はもっと応力を小さくできる。ただし同じrとするとNφは正になるところが出てくるのでちょっと都合が悪い。

地上での半径がl=5491mとなるようにしたドームを考える。最大のθを横軸にしてrとかNθmaxとかをみてみよう。
domefig05.gif
--図6--

ガラスの厚さをdr=1m、内圧をかけない状態と外圧(大気圧)より5%大きい内圧をかけた状態を比べるとこんな感じ。地上でNφ=0となる条件を比べると、内圧をかけるとrが大きくなってθが小さくなり、ドームの高さhは小さくなる。最大応力も小さくなるけど、劇的に小さくなったりはしない。

あまり改善しないから簡単にするために内圧はかけないでおこう。


地震とか風とか熱膨張とか振動とか全部無視して自重だけで計算してできた図5の形のドームがこれ。
domefig06.gif
--図7:東京タワーは5倍の高さにしてます--

実物みたら大迫力なんだろうな。21世紀になっても屋根付きの都市ってないよなぁ。派手なものが好きそうなアメリカとか中国とか中東あたりが作らないかな? 世界の派手好きな方々、こういう未来っぽい都市を作ってください

でも実際にできたら窓拭きならぬドーム拭きは大変そうだし、換気も必要だし、ドーム下ろしの風も凄いのかな? ドームの外にとっては迷惑な存在かも

これだけでかいドームを作る技術があったとして、必要なガラスはドームの厚さを1mとすると1.17×108m3。2001年から2010年までの日本の板ガラスの平均生産量は4.79×105m3/年なので244年分のガラスが必要。オリンピックもびっくりの巨大公共事業、ちょっと厳しいかな


お付き合いいただき、ありがとうございます よい子のみなさん、夏休みの宿題はお早めに



皮むきは得意?

apple-sozai02.gif apple-sozai03.gif
このイラストは「M/Y/D/S イラスト素材百科」よりお借りしています。 イラストの転載はできません。


リンゴとか桃の皮むき得意ですか? rthcjは苦手です リンゴは皮付きで食べちゃうし・・・

どうやったら上手くむけるか考えてみた。
applefig01.gif
--図1--

まず図1のようにリンゴを球として極座標で考えると、表面上の点Pは以下のように表せる。

 appleeq01.gif --(1)

次に果物ナイフの刃の軌跡を考えよう。切れ目が時間をtとしてt=0のとき(0,0,r)から移動していくとする。θ方向の角速度をω、φ方向の角速度をω2とすると以下のようになる。

 appleeq02.gif --(2)
 appleeq03.gif --(3)
 appleeq04-1.gif --(4)

切り出した皮の幅が均一になるにはωとω2の比が一定になればいいので

 appleeq05.gif --(5)

とする。nは整数でなくてもいい。要するに周方向の果物ナイフの移動量と縦方向の果物ナイフの移動量の比が一定ならばOK。この条件でむけばきれいに皮むきができる うーむ、当たり前過ぎて面白くない・・・

(2)~(5)を使って切れ目をみてみよう。 ここではn=12とする。
applefig01-1.gif
--図2--

実際に切るときは同時に切れ目が2本できるので上下の端の部分に残るところが出てくる。こんな感じでヘタのところは残るから後から切るよね。
applefig02.gif
--図3--

図3の状態から皮をむくとこんな感じ。端はむけなくてn-1周の皮ができる。
applefig03.gif
--図4--

お付き合いいただきありがとうございます




P.S.
地球模様の皮むきはこんな感じ。いつか贈答用とかで地球模様のリンゴができるかもね。
applefig04.gif
--図5--



日本は何処?

以前の記事から、もしも地球が赤道ではなく子午線方向に北から南に周っていたら世界地図はこんな感じになる。

ns.gif
--図1--

map-created.png
--図2--

ぱっと見て日本が何処か分からない。 かなり分かりにくい。

元の地図(赤道周りに自転)から少しずつずらしていくとこんな感じ。

map-created-move.gif
--図3--

IQのテストに出そうだね



Powered by FC2 Blog

FC2Ad


Copyright © 日記帳 All Rights Reserved.

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。