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夏休みの自由研究~東京ドーム

夏は暑いし、冬は寒いし、春は花粉が飛ぶし、快適な日って少ないかも。そこで東京をドームで覆って夏は日光を遮断するようにサングラスみたいに暗くして、冬は温室みたいに日光を通すようにしたらどうなんだろう。こんな感じの傘要らずの未来都市。
domefig01.gifdomefig01-1.jpg
--図1--

SFにでてきそうだね。どんな感じになるか計算してみよう! まず座標系をこんな感じにとる。
domefig02.gif
--図2--

 Nθ:θ方向の応力
 Nφ:φ方向の応力
 Nr:r1方向の応力
 Nθφ:θが一定の断面に作用するφ方向のせん断応力
 Nφθ:φが一定の断面に作用するθ方向のせん断応力
 pθ:質量当たりのθ方向の外力
 pφ:質量当たりのφ方向の外力
 pr:質量当たりのr1方向の外力

ドームのガラスはr1と比べて十分薄いとする。

まずθ方向の力の釣り合いを考える。3次以上の微小要素のある項を無視する。
 domeeq01-2.gif
 domeeq02-1.gif--(1)

同様にφ方向、r1方向、モーメントの釣り合いから
 domeeq03-1.gif--(2)
 domeeq04.gif--(3)
 domeeq05.gif--(4)

軸対称であるとしてφ方向の微分、Nθφ、Nφθ、pφは0として(1)~(4)は
 domeeq06-1.gif--(5)
 domeeq07.gif--(6)
となる。

(5)、(6)から
 domeeq08-1.gif
 domeeq09-1.gif--(7)
となる。ここで
 domeeq10-1.gif
を用いると(7)は
 domeeq11-1.gif
 domeeq12.gif
 domeeq13.gif--(8)
となる。

ここで簡単考えてドームを球とすると
 domeeq14.gif
 domeeq15.gif
となる。

外力を自重と内圧とする。ガラスの密度をρ、重力加速度をg、内圧と外圧の差をχ、ガラスの厚さをdrとすると
 domeeq16.gif
 domeeq17.gif
となる。(8)に代入すると
 domeeq18.gif--(9)
となる。また(6)から
 domeeq19.gif--(10)
となってやっとNθとNφが分かった、疲れた~ 自重による成分はガラスの厚さに依存しない。

ここで(9)と(10)がどんな感じにあるかみてみよう。まずは単純に自重のみ働く(χ=0)として(9)の右辺第一項と(10)の右辺第一項と第二項をみてみる(rρgは除く)。
domefig03.gif
--図3:横軸θ--

こんな感じでNθは常に負(圧縮)でNφはθがあるところより大きいと正(引っ張り)になる。

ここでちょっと問題がある。ガラスは圧縮には強いけど引っ張りには弱いらしい。そこでNφが正にならない角度をθ≦αとすると
 domeeq20.gif
になるから
 domeeq21.gif--(11)
となる。θがこれ以下になるようにドームを作りたい。

ここでドームの地上での半径を円周が山手線1周と同じ長さになるようにしてみよう!
yamacir02.gif
--図4--

ドームを上からみると↑こんな感じ。地上での半径をlとすると
 domeeq22.gif
 domeeq23.gif--(12)
となる。

l=5491m、(11)、(12)からドームの半径rはr=6985mになってドームを横から見ると↓こんな感じ。
domefig04.gif
--図5--

高さhはh=2668m。おおおっ、結構高いね。ここで肝心な強度を求めると最大応力はθ=αのところ(ドームの一番下)になる。ρ=2.2×103kg/m3、g=9.8m/s2と(9)からNθmax=-9.31×107Paになる。

ガラスの圧縮強度は-1.15×109Paらしいので約12倍の安全率になるのかな。これだけ大きくても自重しか働かない場合は理論上は一応壊れない。合ってる保証皆無だけど、ちょっと安心

(9)と(10)から内圧がかかる場合はもっと応力を小さくできる。ただし同じrとするとNφは正になるところが出てくるのでちょっと都合が悪い。

地上での半径がl=5491mとなるようにしたドームを考える。最大のθを横軸にしてrとかNθmaxとかをみてみよう。
domefig05.gif
--図6--

ガラスの厚さをdr=1m、内圧をかけない状態と外圧(大気圧)より5%大きい内圧をかけた状態を比べるとこんな感じ。地上でNφ=0となる条件を比べると、内圧をかけるとrが大きくなってθが小さくなり、ドームの高さhは小さくなる。最大応力も小さくなるけど、劇的に小さくなったりはしない。

あまり改善しないから簡単にするために内圧はかけないでおこう。


地震とか風とか熱膨張とか振動とか全部無視して自重だけで計算してできた図5の形のドームがこれ。
domefig06.gif
--図7:東京タワーは5倍の高さにしてます--

実物みたら大迫力なんだろうな。21世紀になっても屋根付きの都市ってないよなぁ。派手なものが好きそうなアメリカとか中国とか中東あたりが作らないかな? 世界の派手好きな方々、こういう未来っぽい都市を作ってください

でも実際にできたら窓拭きならぬドーム拭きは大変そうだし、換気も必要だし、ドーム下ろしの風も凄いのかな? ドームの外にとっては迷惑な存在かも

これだけでかいドームを作る技術があったとして、必要なガラスはドームの厚さを1mとすると1.17×108m3。2001年から2010年までの日本の板ガラスの平均生産量は4.79×105m3/年なので244年分のガラスが必要。オリンピックもびっくりの巨大公共事業、ちょっと厳しいかな


お付き合いいただき、ありがとうございます よい子のみなさん、夏休みの宿題はお早めに



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コメント

 
rthcjさん、こんばんは!

この間、岐阜高山の平湯温泉から飛騨の割石温泉に向かう途中、道の駅「宙ドーム・神岡」に寄りました。

そこでは、あのスーパーカミオカンデのリアルタイムモニターが展示してありました。
ちょっと難しくて私にはよくわかりませんでしたが、rthcjさんならきっとわかるんだろうなと思いました。

私のブログにリアルタイムモニターを掲載しておきましたので、良かったら見に来て下さいね~(^^ゞ
りゆうさん、こんばんは~
コメントありがとうございます♪

おおおっ、飛騨ですか、いいですね。お伺いしますね~

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