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未来の株価はどうやって決める?

毎日変わる株価。実際に株を売ったり買ったりするだけじゃなくて、将来株を売ったり買ったりする権利といった派生商品も取引されている。

こういうとき皆が納得する未来の株価の基準がないと困りそう。納得感のある未来の株価はどうやって決めるんだろう?
randfig01.jpg

どうも株価はランダムに動くという前提に立って考えるのが普通らしい。この前提が正しいのか間違っているのかはよく分からないけど、この前提に従ってみる。

ランダムに動く=ランダムウォークの一次元モデルで考えよう! 話を簡単にするために格子点(1,2,3,4といった飛び飛びの位置、1.5の位置とかは考えない)上に複数の粒子があって時間Δt毎に確率1/2で左右に動くとする。
randfig01.gif
--図1--

こんな感じで時刻tにi-1の位置に粒子がNt,i-1個あってi+1の位置に粒子がNt,i+1個あるとする。Δt後のiの位置の粒子の数の期待値Nt+Δt,i
 randeq01-1.gif --(1)
両辺からNt,iを引くと
 randeq02.gif --(2)
となる。ここで両辺をΔtΔx2で割ると
 randeq03.gif --(3)
となる。

x=iΔxとしてΔt→0,Δx→0の極値をとるとN(t,i)は確率密度関数p(t,x)に置き換えることができて
 randeq04-1.gif --(4)
になる。ちょっと変形して
 randeq05-2.gif --(5)
になって
 randeq06-1.gif --(6)
とすると
 randeq07-1.gif --(7)
となる。

(7)式は拡散方程式で基本解は
 randeq08-1.gif --(8)

 randeq09.gif --(9)
とおくと
 randeq10-1.gif --(10)
になる。

これは平均0で分散が2Dtの正規分布だよ。より一般化して平均をuとすると
 randeq11-1.gif --(11)
となる。やっとここまできた


ここまでのお話はランダムに動くものの確率密度は正規分布になるということ。粒子の位置を株価とみなして株に応用したいけどちょっと問題がある。

粒子の例だと、例えば粒子は10の位置から刻み幅を1としてずっと右に動くとすると10, 11, 12, 13, ...と動く。

でも株の場合は昨日と今日の株価の差はある刻み幅を基準として動くんじゃなくて割合を基準にして動くと考える方がリーズナブル。

例えば単調増加する場合は刻み幅を10%として10, 11, 12.1, 13.31, ...という感じ。値の差でなく値の割合が基準になるので対数をとったものが粒子と同じように動くと考えると分かりやすい。

そこで株価をsとして
 randeq12-1.gif --(12)
xは正規分布する。すると株価の確率密度Pは
 randeq13-1.gif --(13)
になる。これは対数正規分布だよ。

こんな感じでランダムに動くと仮定すると未来の株価の確率密度は対数正規分布になる。

ちなみに正規分布と対数正規分布の違いはこんな感じ。
randgraph01.gif
--図2-- 平均0、分散σ2の正規分布とその対数正規分布。


(13)式を元に未来の株価はどんな感じになるか考えてみよう。(13)式で困るのは平均uがあるところ。標準偏差σは過去のデータから予想できそうだけど未来の平均は難しい。

そこで現在の株価をs0、利子率をrとして現在の株を現金にして預金しておいたものと、時間t後の株価の期待値は同じと考える。株も預金も期待値は同じという前提だよ。

対数正規分布の期待値を用いて
 randeq14-2.gif --(14)
となる。対数をとると
 randeq15.gif --(15)
となる。ここで(9)式を思い出そう。分散σ2は時間tに比例していた!
 randeq16.gif --(16)
単位時間の標準偏差をσeとすると
 randeq17.gif --(17)
なので(15)式は
 randeq18-1.gif --(18)
となる。

(13)、(17)、(18)から現在の株価s0と単位時間の標準偏差σeから時間t後の株価sの確率密度の分布が分かる。おおお、やっとなんとなく分かった、長かった


ちょっとどんな感じになるか計算してみよう

例えば
 現在の株価 s0=1000円
 単位時間(例えば1年とか)の標準偏差 σe=0.2
 利子率r=0.00995
とするとt=0.5, t=1, t=2の確率密度分布はこんな感じになる。
randgraph02.gif
--図3--

時間が経つと分布はだんだんs0から広がって中央値(最頻値も)は低い方に移動していく。これは株は長い目で見るとガンガン伸びる一部の株と預金にも負ける多くの株があるってこと。一部の勝ち組とその他多数の負け組からなるのが企業ってことかな。なんだか個人の収入とか資産みたいだね。


お付き合い頂きありがとうございます



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コメント

 
猪木の延髄切りを。
食らったような数式で。
クラクラきます(汗

株やってらっしゃるんですか?
入っていた住友生命が株式会社になって。
一応株主様になったらしいですけど。
恩恵はほぼありませんw^^)/
waravinoさん、こんばんは~
コメントありがとうございます。

えんずいぎり、、、懐かしいですv-410
株は昔少しかじりました。
理系が弱かったわたくし・・・
数字が・・・異次元の文字に
思えてしまいました。
素晴らしい解析に、思わず飛び出てしまいました!
花桃さん、こんばんは~
コメントありがとうございます。

適当に書いてるだけですので正しい保証はないです、、、

コメント

 
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